📚Мат. анализ — 4

License: MIT PRs Welcome

Электронный сборник конспектов по 4 семестру математического анализа в формате Markdown.

  1. Равномерная сходимость.
  2. Теорема о равенстве повторных пределов (о перестановке предельных переходов).
  3. Равномерный предел непрерывных функций.
  4. Теорема о дифференцировании пределов семейств и последовательностей функций, а также сумм функциональных рядов.
  5. Признаки Вейерштрасса, Абеля и Дирихле равномерной сходимости рядов.
  6. Степенные ряды. Радиус и характер сходимости степенных рядов. Формула Коши-Адамара.
  7. Предельный переход под знаком собственного интеграла. Непрерывность собственных интегралов с параметрами.
  8. Дифференцирование собственных интегралов с параметрами.
  9. Непрерывность и дифференцируемость собственных интегралов с параметрами, когда пределы интегрирования зависят от параметров.
  10. Перестановка собственных интегрирований.
  11. Равномерная сходимость несобственных интегралов с параметрами. Критерий Коши.
  12. Признаки Вейерштрасса, Абеля и Дирихле равномерной сходимости несобственных интегралов.
  13. Предельный переход под знаком несобственного интеграла. Непрерывность несобственных интегралов с параметрами.
  14. Дифференцируемость несобственных интегралов с параметрами.
  15. Перестановка собственного и несобственного интегрирований.
  16. Перестановка несобственных интегрирований
  17. Мера прямоугольников и ее свойства.
  18. Определение элементарных множеств. Замкнутость класса элементарных множеств относительно теоретико-множественных операций, применяемых конечное число раз.
  19. Мера элементарных множеств. Корректность определения, аддитивность и монотонность меры.
  20. Счетная полуаддитивность и счетная аддитивность меры элементарных множеств.
  21. Начала теории меры Лебега для множеств, расположенных в единичном кубе. Понятие внешней меры и ее свойства.
  22. Определение измеримых множеств. Замкнутость класса измеримых множеств относительно теоретико-множественных операций.
  23. Аддитивность меры измеримых множеств.
  24. Измеримость счетных объединений и пересечений.
  25. Счетная аддитивность меры.
  26. Непрерывность меры.
  27. Распространение теории меры на множества, не содержащиеся в единичном кубе.
  28. Измеримость открытых и замкнутых множеств. Пример неизмеримого множества.
  29. Измеримые функции и их эквивалентные определения. Прообразы борелевских множеств при измеримых отображениях.
  30. Супремум, инфимум и предел последовательности измеримых функций.
  31. Аппроксимация измеримых функций ступенчатыми.
  32. Измеримость непрерывных функций. Суперпозиция измеримой и непрерывной функций.
  33. Сумма, произведение, отношение измеримых функций.
  34. Свойства, выполняемые почти всюду. Сходимость почти всюду.
  35. Понятие суммируемости ступенчатых функций на множестве конечной меры. Эквивалентность суммируемости и абсолютной суммируемости.
  36. Линейность, монотонность и аддитивность интеграла от ступенчатых функций.
  37. Суммируемые измеримые функции на множестве конечной меры. Интеграл Лебега от измеримой функции.
  38. Линейность, монотонность и аддитивность интеграла Лебега. Всякая суммируемая функция на множестве конечной меры является абсолютно суммируемой.
  39. Счетная аддитивность интеграла.
  40. Абсолютная непрерывность интеграла.
  41. Формулировки теорем Лебега, Леви и Фату о предельном переходе под знаком интеграла.
  42. Понятие суммируемой функции на множестве бесконечной меры. Исчерпывающие последовательности и их использование для вычисления интегралов. Инвариантность определения интеграла по множеству бесконечной меры относительно выбора исчерпывающей последовательности.
  43. Сравнение интегралов Римана и Лебега в одномерном случае.
  44. Формулировка теоремы Фубини для суммируемых функций и её частичного обращения.
  45. Параллелепипеды, порожденные системами векторов в Rn \mathbb{R}^n . Геометрический смысл определителя. Наглядные соображения и строгая формулировка теоремы об изменении меры множества при диффеоморфизме.
  46. Формулировка теоремы о замене переменных в интегралах от суммируемых функций.
  47. Формула kk-мерного объема kk-мерного параллелепипеда в Rn \mathbb{R}^n . Матрица Грама системы векторов.
  48. Определение измеримого множества на простом (элементарном) многообразии размерности kk в пространстве Rn \mathbb{R}^n и объяснение его корректности.
  49. Определение интегралов первого рода для функций на простых (элементарных) многообразиях.
  50. Определения меры множеств и интегралов первого рода на произвольных гладких многообразиях.
  51. Понятия внешних и внутренних по отношению к данной области векторов, выходящих из граничных точек.
  52. Формулировка основной теоремы интегрального исчисления для интегралов в Rn \mathbb{R}^n . Формулы Грина и Гаусса — Остроградского.
  53. Ориентированные кривые в пространстве Rn \mathbb{R}^n . Согласование локальной параметризации и ориентации кривой. Определение интеграла второго рода от векторного поля вдоль ориентированной кривой.
  54. Ориентированные поверхности в R3R^3. Согласование локальной параметризации с ориентацией поверхности. Определение интеграла второго рода от векторного поля на ориентированной поверхности.
  55. Формулы Грина и Гаусса — Остроградского в терминах интегралов второго рода.
  56. Согласование ориентации поверхности M в пространстве R3R^3 и ориентации гладкого контура Γ, ограничивающего часть поверхности M. Определение ротора векторного поля и формула Стокса (без доказательства).

✨ Особенности проекта