Теорема о равенстве повторных пределов.

Повторные пределы возникают, когда мы последовательно вычисляем пределы функции по разным переменным. Вопрос о равенстве таких пределов важен в анализе, особенно при работе с несобственными интегралами и рядами. Теорема о равенстве повторных пределов устанавливает условия, при которых порядок взятия пределов можно менять.

Теорема. О равенстве повторных пределов.

Пусть $D \subseteq \mathbb{R}^p, E \subseteq \mathbb{R}^p$. Функция ${F : D \times E \to \mathbb{R}^s}$. Пусть $a$ — предельная точка множества $D$, а $b$ — предельная точка множества $E$. Также пусть выполнено следующее:

1. ${\forall y \in E} \ \ {\exists \lim_{x \to a}} F(x, y) = \psi(y)$;

2. $F(x, y) \overset{x \in D}{\underset{y \to b}{\rightrightarrows }} \varphi(x).$

Тогда

$${\exists \lim_{y \to b} \psi(y)}, {\exists \lim_{x \to a} \varphi(x)} \ \ \text{и} \ \ {\lim_{y \to b} \psi(y)} = {\lim_{x \to a} \varphi(x)}.$$

Доказательство:

Пусть верно условие теоремы, тогда выполнено

1. Условие Коши равномерной сходимости

   $${\forall \varepsilon > 0} \ \ {\exists \overset{\circ}{U}_b} \ \ {\forall y_1, y_2 \in \overset{\circ}{U}_b \cap E} \ \ {\forall x \in D} \ \ \| F(x, y_1) - F(x, y_2) \| < \frac{\varepsilon}{3} \tag{1}$$

2. Условие поточечной сходимости при $x \to a$

   $${\forall y \in E} \ \ {\forall \varepsilon > 0} \ \ {\exists \overset{\circ}{V}_a} \ \ {\forall x \in \overset{\circ}{V}_a \cap D} \ \ {\| F(x, y) - \psi(y) \| < \frac{\varepsilon}{3}} \tag{2}$$

3. Условие поточечной сходимости при $y \to b$

   $${\forall x \in D} \ \ {\forall \varepsilon > 0} \ \ {\exists \overset{\circ}{U}_b} \ \ {\forall y \in \overset{\circ}{U}_b \cap E} \ \ {\| F(x, y) - \varphi(x) \| < \varepsilon} \tag{3}$$

Шаг 1. Покажем, что ${\exists \lim \psi(y)}$.

Из утверждений $(1), (2)$ можно заключить, что $\boxed{\forall \varepsilon > 0}$

$$\boxed{{\exists \overset{\circ}{U}_b} \ \ {\forall y_1, y_2 \in \overset{\circ}{U}_b \cap E}} \ \ {\exists \overset{\circ}{V^{1}_a}} \ \ {\exists \overset{\circ}{V^{2}_a}} \ \ {\forall x \in \overset{\circ}{V^{1}_a} \cap \overset{\circ}{V^{2}_a} \cap D}$$

$$\| F(x, y_1) - \psi(y_1) \| < \frac{\varepsilon}{3}, \ \ \| F(x, y_2) - \psi(y_2) \| < \frac{\varepsilon}{3},$$

$$\| F(x, y_1) - F(x, y_2) \| < \frac{\varepsilon}{3}.$$

Поэтому

$$\| \psi(y_1) - \psi(y_2) \| = \| \left[ \psi(y_1) - F(x, y_1) \right] - \left[ \psi(y_2) - F(x, y_2) \right] + \left[ F(x, y_1) - F(x, y_2) \right] \| \le$$

$$\le \| \psi(y_1) - F(x, y_1)\| + \| \psi(y_2) - F(x, y_2) \| + \| F(x, y_1) - F(x, y_2) \| <$$

$$< \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon.$$

Получим, что

$$\boxed{\| \psi(y_1) - \psi(y_2) \| < \varepsilon} \ .$$

Для $\psi(y)$ выполнено условие Коши существования предела, поэтому

$$\exists \lim_{y \to b} \psi(y).$$

Шаг 2. Покажем, что ${\exists \lim \varphi(x)} = \lim \psi(y)$.

Пусть $A = \lim \psi(y)$, тогда

$${\forall \varepsilon > 0} \ \ {\exists \overset{\circ}{U}_b} \ \ {\forall y \in \overset{\circ}{U}_b \cap E} \ \ {\| \psi(y) - A \| < \varepsilon}. \tag{4}$$

Из $(2), (3), (4)$ можем получить следующее

$$\boxed{{\forall \varepsilon > 0} \ \ {\exists \overset{\circ}{V}_a} \ \ {\forall x \in \overset{\circ}{V}_a \cap D}} \ \ {\exists \overset{\circ}{U^{1}_b}} \ \ {\exists \overset{\circ}{U^{2}_b}} \ \ {\forall y \in \overset{\circ}{U^{1}_b} \cap \overset{\circ}{U^{2}_b} \cap D}$$

$$\| F(x, y) - \psi(y) \| < \frac{\varepsilon}{3}, \ \ \| F(x, y) - \varphi(x) \| < \frac{\varepsilon}{3}, \ \ {\| \psi(y) - A \|} < \frac{\varepsilon}{3}.$$

Поэтому

$${\| \varphi(x) - A \|} = {\| [\varphi(x) - F(x, y)] - [\psi(y) - F(x, y)] + [\psi(y) - A] \|} \le$$

$$\le \| F(x, y) - \varphi(x) \| + \| F(x, y) - \psi(y) \| + {\| \psi(y) - A \|} <$$

$$< \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon.$$

Получим, что

$$\boxed{\| \varphi(x) - A \| < \varepsilon} \ .$$

Можем заключить, что

$$\exists \lim_{x \to a} \varphi(x) = A.$$