Равномерный предел непрерывных функций.

Теорема о непрерывности равномерного предела непрерывных функций.

Теорема. О непрерывности равномерного предела непрерывных функций.

Пусть $D \subseteq \mathbb{R}^p$, $E \subseteq \mathbb{R}^q$, а $b$ — предельная точка множества $E$. Пусть дана функция ${F(x, y) : D \times E \to \mathbb{R}^s }$, для которой верно:

1. ${\forall y \in E}$ функция $F(x, y)$ непрерывна по $x$ в $D$;

2. $F(x, y) \overset{x \in D}{\underset{y \to b}{\rightrightarrows }} \varphi(x)$.

Тогда функция $\varphi(x)$ непрерывна в $D$.

Доказательство:

Пусть ${a \in D}$. Покажем, что $\exists \lim_{x \to a} \varphi(x) = \varphi(a)$.

Из условий теоремы:

1. ${\forall y \in E} \ \ {\exists \lim_{x \to a} F(x, y) = F(a, y)}$;

2. $F(x, y) \overset{x \in D}{\underset{y \to b}{\rightrightarrows }} \varphi(x)$.

Получим, что для $F(x, y)$ выполнены условия теоремы о равенстве повторных пределов, поэтому существуют и равны повторные пределы

$$\lim_{x \to a} \lim_{y \to b} F(x, y) = \lim_{y \to b} \lim_{x \to a} F(x, y).$$

Из утверждений $1, 2$ также следует, что

$$\lim_{x \to a} \lim_{y \to b} F(x, y) = \lim_{x \to a} \varphi(x),$$

$$\lim_{y \to b} \lim_{x \to a} F(x, y) = \lim_{y \to b} F(a, y) = \varphi(a).$$

Можем заключить, что

$$\exists \lim_{x \to a} \varphi(x) = \varphi(a).$$

Непрерывность равномерного предела функциональной последовательности.

Следствие 1. Непрерывность равномерного предела функциональной последовательности.

Пусть $\{ f_n(x) \}_{n=1}^{\infty}$ — функциональная последовательность из непрерывных на множестве $D$ функций.

Тогда, если $f_n(x) \overset{x \in D}{\underset{n \to \infty}{\rightrightarrows }} \varphi(x)$, то предел $\varphi(x)$ — непрерывная на множестве $D$ функция.

Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда.

Следствие 2. Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда.

$$\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x). \tag{1}$$

Если функциональный ряд $(1)$ сходиться равномерно в $D$, а ${\{ f_n(x) \}_{n=1}^{\infty}}$ — непрерывные в $D$ функции, то сумма ряда $(1)$ есть непрерывная функция.