Равномерная сходимость.

Равномерная сходимость — важное понятие в математическом анализе, позволяющее гарантировать, что сходимость функции, последовательности или ряда не зависит от выбора точки. В отличие от поточечной сходимости, она обеспечивает сохранение аналитических свойств (непрерывности, дифференцируемости, интегрируемости) при предельном переходе. Это один из ключевых инструментов в теории функциональных рядов, интегралах, зависящих от параметра, и других разделах анализа.

Равномерная сходимость функции нескольких переменных.

Пусть ${D \subseteq \mathbb{R}^p}$, ${E \subseteq \mathbb{R}^q}$ и множество $E$ имеет предельную точку $b$ (конечную или бесконечную). Функция ${F (x, y) : D \times E \to \mathbb{R}^s}$, где $x \in D$, $y \in E$.

Определение. Говорят, что функция $F(x, y)$ сходится поточечно по $x$ на множестве $D$ при $y \to b$, если найдется такая функция $\varphi : D \to \mathbb{R}^s$, что:

$$\boxed{\forall x \in D} \ \ {\forall \varepsilon > 0} \ \ {\exists \overset{\circ}{U}_b} \ \ {\forall y \in \overset{\circ}{U}_b \cap E} \ \ {\| F(x, y) - \varphi(x) \| < \varepsilon}.$$

Что эквивалентно условию

$$\forall x \in D \ \ \exists \lim_{y \to b} F(x, y) = \varphi(x).$$

Определение. Говорят, что функция $F(x, y)$ сходится равномерно по $x$ на множестве $D$ при $y \to b$, если найдется такая функция $\varphi : D \to \mathbb{R}^s$, что:

$${\forall \varepsilon > 0} \ \ {\exists \overset{\circ}{U}_b} \ \ {\forall y \in \overset{\circ}{U}_b \cap E} \ \ \boxed{\forall x \in D} \ \ {\| F(x, y) - \varphi(x) \| < \varepsilon}.$$

Что эквивалентно существованию предела

$$\lim_{y \to b} \sup_{x \in D} {\| F(x, y) - \varphi(x) \|} = 0.$$

Равномерная сходимость обозначается следующим образом:

$$F(x, y) \overset{x \in D}{\underset{y \to b}{\rightrightarrows }} \varphi(x).$$

Заметим, что из равномерной сходимости вытекает поточечная сходимость функции. Однако обратное неверно: поточечная сходимость не гарантирует равномерную сходимость.

Равномерная сходимость функциональных последовательностей.

Если в качестве множества $E$ в предыдущем определении мы рассмотрим множество натуральных чисел $\mathbb{N}$, то положив $f_n(x) = F(x, n)$ для всех $x \in D$ и $n \in \mathbb{N}$, получим определение равномерной сходимости для функциональных последовательностей.

Определение. Говорят, что функциональная последовательность $f_n (x)$ сходится равномерно на множестве $D$ при $n \to \infty$, если найдется такая функция $\varphi(x) : D \to \mathbb{R}^s$, что:

$${\forall \varepsilon > 0} \ \ {\exists n_0 \in \mathbb{N}} \ \ {\forall n \ge n_0} \ \ \boxed{\forall x \in D} \ \ {\| f_n (x) - \varphi(x) \| < \varepsilon}.$$

Это эквивалентно существованию предела

$$\lim_{n \to \infty} \sup_{x \in D} {\| f_n (x) - \varphi(x) \|} = 0.$$

Равномерная сходимость функциональных рядов.

Пусть имеется функциональная последовательность $\{ f_n (x) \}_{n=1}^{\infty}$, где

$${f_n : D \to \mathbb{R}}, \ \ D \subseteq \mathbb{R}^p.$$

Пусть для всех $x \in D$ сходится ряд

$$\sum_{n=1}^{\infty} f_n (x). \tag{1}$$

Определение. Ряд $(1)$ сходится равномерно на множестве $D$, если

$${\sum_{n=1}^{m} f_n(x)} \ \overset{x \in D}{\underset{m \to \infty}{\rightrightarrows }} \ {\sum_{n=1}^{\infty} f_n (x)}$$

Критерий Коши равномерной сходимости.

Теорема. Критерий Коши равномерной сходимости.

Пусть выполнено следующее:

1. ${D \subseteq \mathbb{R}^p}$, ${E \subseteq \mathbb{R}^q}$ и множество $E$ имеет предельную точку $b$ (конечную или бесконечную).

2. Функция ${F (x, y) : D \times E \to \mathbb{R}^s}$, где $x \in D$, $y \in E$.

В этом случае функция $F(x, y)$ сходится равномерно в $D$ при $y \to b$ тогда и только тогда, когда верно:

$${\forall \varepsilon > 0} \ \ {\exists \overset{\circ}{U}_b} \ \ {\forall y_1, y_2 \in \overset{\circ}{U}_b \cap E} \ \ \boxed{\forall x \in D} \ \ {\| F(x, y_1) - F(x, y_2) \| < \varepsilon}.$$

Доказательство:

$(\Rightarrow)$ Покажем необходимость условия Коши.

Пусть верно условие теоремы и функция $F(x, y)$ сходится равномерно в $D$ при $y \to b$, тогда

$$\boxed{ {\forall \varepsilon > 0} \ \ {\exists \overset{\circ}{U}_b} \ \ {\forall y_1, y_2 \in \overset{\circ}{U}_b \cap E} \ \ {\forall x \in D} }$$

$${\| F(x, y_1) - \varphi(x) \| < \frac{\varepsilon}{2}} \ \ \text{,} \ \ {\| F(x, y_2) - \varphi(x) \| < \frac{\varepsilon}{2}}.$$

Из этого следует, что

$$\| F(x, y_1) - F(x, y_2) \| \le \| F(x, y_1) - \varphi(x) \| + \| F(x, y_2) - \varphi(x) \| < \varepsilon.$$

Получим, что

$$\boxed{\| F(x, y_1) - F(x, y_2) \| < \varepsilon} \ .$$

Значит для функции $F(x, y)$ верно условие Коши.

$(\Leftarrow)$ Покажем достаточность условия Коши.

Пусть для $F(x, y)$ верно условие Коши равномерной сходимости. Тогда для $F(x, y)$ верно и условие Коши поточечной сходимости функции, поэтому

$${\forall x \in D} \ {\exists \lim_{y \to b} F(x, y)}.$$

Положим, что $\varphi(x) = {\lim_{y \to b} F(x, y)}$, для всех ${x \in D}$.

Рассмотрим условие Коши равномерной сходимости функции:

$$\boxed{{\forall \varepsilon > 0} \ \ {\exists \overset{\circ}{U}_b} \ \ {\forall y \in \overset{\circ}{U}_b \cap E} \ \ {\forall x \in D}} \ {\forall \widetilde{y} \in \overset{\circ}{U}_b \cap E}$$

$${\| F(x, y) - F(x, \widetilde{y}) \| < \frac{\varepsilon}{2}}.$$

Пользуясь непрерывностью нормы мы можем перейти в последнем неравенстве к пределу:

$${\lim_{\widetilde{y} \to b} \| F(x, y) - F(x, \widetilde{y}) \|} = {\| F(x, y) - \varphi(x) \|} \le \frac{\varepsilon}{2} < \varepsilon.$$

Получим, что:

$$\boxed{{\| F(x, y) - \varphi(x) \|} < \varepsilon} \ .$$

Можем заключить, что функция $F(x, y)$ сходится равномерно в $D$ при ${y \to b}$.

Равномерная сходимость по Гейне.

Теорема. Равномерная сходимость по Гейне.

Функция $F(x, y)$ сходится равномерно в $D$ при $y \to b$ тогда и только тогда, когда найдется такая функция $\varphi : D \to \mathbb{R}^s$, что для любой последовательности $\{ y_n \}_{n=1}^{\infty}$ элементов из $E$ такой, что $y_n \ne b$ для всех $n \in \mathbb{N}$ и $y_n \to b$, верно, что функциональная последовательность $\{ F(x, y_n) \}_{n=1}^{\infty}$ сходится равномерно в $D$ к функции $\varphi(x)$.

$$\exists \varphi(x) \ \forall \{ y_n \}_{n=1}^{\infty}, y_n \ne b, y_n \to b \ \ F(x, y_n) \overset{x \in D}{\underset{n \to \infty}{\rightrightarrows }} \varphi(x).$$